【全微分方程的通解公式】在微分方程的学习中，全微分方程是一类具有特殊结构的方程，其特点是方程左边可以表示为某个函数的全微分。这类方程通常形式为：

$$

M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0

$$

如果存在一个函数 $ u(x, y) $，使得：

$$

\frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y)

$$

那么该方程就称为全微分方程，其通解为：

$$

u(x, y) = C

$$

其中 $ C $ 为任意常数。

一、全微分方程的判断条件

要判断一个方程是否为全微分方程，需要满足以下条件：

$$

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$$

若此条件成立，则原方程为全微分方程；否则，需通过引入积分因子进行转化。

二、求解全微分方程的方法

1. 验证全微分条件：计算 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial N}{\partial x}$，判断是否相等。

2. 构造函数 $ u(x, y) $：

- 积分 $ M(x, y) $ 对 $ x $ 得到 $ u(x, y) $ 的一部分；

- 然后对 $ y $ 求偏导，与 $ N(x, y) $ 进行比较，补全未定项。

3. 写出通解：将构造出的 $ u(x, y) $ 设为常数，即为通解。

三、全微分方程通解公式的总结

四、示例说明

例题：求解微分方程：

$$

(2x + y) \, dx + (x + 2y) \, dy = 0

$$

步骤如下：

1. 计算偏导数：

- $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (2x + y)}{\partial y} = 1 $

- $ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (x + 2y)}{\partial x} = 1 $

条件满足，是全微分方程。

2. 构造函数 $ u(x, y) $：

$$

u(x, y) = \int (2x + y) dx = x^2 + xy + \phi(y)

$$

再对 $ y $ 求偏导：

$$

\frac{\partial u}{\partial y} = x + \phi'(y) = x + 2y \Rightarrow \phi'(y) = 2y \Rightarrow \phi(y) = y^2

$$

3. 通解为：

$$

u(x, y) = x^2 + xy + y^2 = C

$$

五、小结

全微分方程是一种特殊的微分方程类型，其关键在于识别是否存在一个函数 $ u(x, y) $，使得方程可表示为其全微分。通过验证偏导数相等性，再逐步构造该函数，最终得到通解。掌握这一方法有助于解决许多实际问题中的微分方程问题。