如何计算拟合优度
【如何计算拟合优度】在统计学中，拟合优度（Goodness of Fit）用于衡量一个统计模型与实际数据之间的匹配程度。它常用于检验观测数据是否符合某种理论分布，或评估回归模型的拟合效果。常见的拟合优度指标包括R²（决定系数）、调整R²、残差平方和（SSE）、总平方和（SST）和回归平方和（SSR）等。
以下是对这些常见拟合优度指标的总结及计算方法：
一、基本概念
| 指标 | 定义 | 公式 | 用途 |
| R²（决定系数） | 回归模型解释的变异占总变异的比例 | $ R^2 = \frac{SSR}{SST} $ | 衡量模型对数据的解释能力 |
| 调整R² | 考虑自变量数量后的R²修正值 | $ \text{Adj. } R^2 = 1 - \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1} $ | 适用于多变量模型，避免过拟合 |
| 残差平方和（SSE） | 实际值与预测值之间差异的平方和 | $ SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $ | 衡量模型的误差大小 |
| 总平方和（SST） | 实际值与均值之间差异的平方和 | $ SST = \sum (y_i - \bar{y})^2 $ | 表示数据总体的变异 |
| 回归平方和（SSR） | 预测值与均值之间差异的平方和 | $ SSR = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 $ | 表示模型解释的变异 |
二、计算步骤
1. 收集数据：获取实际观测值 $ y_i $ 和模型预测值 $ \hat{y}_i $。
2. 计算均值：求出实际值的平均值 $ \bar{y} $。
3. 计算SSE、SST、SSR：
- $ SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $
- $ SST = \sum (y_i - \bar{y})^2 $
- $ SSR = SST - SSE $
4. 计算R²：
- $ R^2 = \frac{SSR}{SST} $
5. 计算调整R²（如适用）：
- $ \text{Adj. } R^2 = 1 - \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1} $
- $ n $：样本数量
- $ k $：自变量数量
三、注意事项
- R²越高，表示模型对数据的解释能力越强，但并非越高越好，需结合其他指标综合判断。
- 在多变量模型中，调整R²更能反映模型的实际拟合效果。
- 拟合优度不能单独作为模型好坏的唯一依据，还需考虑残差分析、显著性检验等。
四、总结
| 指标 | 计算公式 | 特点 |
| R² | $ R^2 = \frac{SSR}{SST} $ | 简单直观，但可能高估模型效果 |
| 调整R² | $ \text{Adj. } R^2 = 1 - \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1} $ | 更适合多变量模型，防止过拟合 |
| SSE | $ \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $ | 表示模型误差大小 |
| SSR | $ \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 $ | 表示模型解释的变异 |
通过以上指标和方法，可以较为全面地评估模型的拟合优度，为后续分析提供依据。
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