2. 需根据题意推断或设定变量：例如，设某些交集为未知数，再利用其他信息建立方程求解。

3. 常涉及“只属于某一个集合”的人数：这类数据在非标准型中尤为重要。

三、非标准型公式应用思路

1. 设定变量：将未知交集部分设为变量（如 x, y, z 等）。

2. 列出总和式子：用容斥公式表示并集大小。

3. 结合题意建立方程：根据题目提供的额外条件（如总数、只属于某集合的人数等）建立方程组。

4. 求解变量：通过代数方法求出各交集部分的值。

四、关键公式总结

五、典型例题分析

例题：

有 100 名学生，其中 60 人喜欢数学，50 人喜欢语文，40 人喜欢英语。已知同时喜欢数学和语文的有 20 人，同时喜欢语文和英语的有 15 人，同时喜欢数学和英语的有 10 人，且有 5 人三科都喜欢。问有多少人只喜欢一门？

解法：

设只喜欢一门的人数为 x，只喜欢两门的人数为 y，三门都喜欢的人数为 z = 5。

根据容斥公式：

$$

$$

说明所有人都被统计到了，因此：

- 只喜欢一门：x

- 喜欢两门：y

- 喜欢三门：z = 5

由题意可得：

$$

x + y + z = 100 \Rightarrow x + y = 95

$$

又因为：

$$

\text{喜欢两门的人数} = (20 - 5) + (15 - 5) + (10 - 5) = 15 + 10 + 5 = 30

\Rightarrow y = 30

$$

所以：

$$

x = 95 - 30 = 65

$$

答案：有 65 人只喜欢一门。

六、总结

三集合容斥非标准型问题的关键在于合理设定变量、建立方程，并灵活运用容斥原理。虽然缺乏直接的交集数据，但通过逻辑推理和数学建模，仍能准确求解。掌握这一类问题的解题思路，有助于提高在复杂集合问题中的分析能力。