数学独立性检验公式
【数学独立性检验公式】在统计学中，独立性检验是一种用于判断两个分类变量是否相互独立的假设检验方法。常见的独立性检验方法是卡方（χ²）检验，它通过比较观察频数与期望频数之间的差异来判断变量之间是否存在关联。
一、独立性检验的基本概念
独立性检验主要用于分析两个或多个分类变量之间是否存在相关关系。例如，我们可以用独立性检验来判断“性别”和“是否喜欢某种运动”这两个变量是否独立。
二、卡方独立性检验公式
卡方独立性检验的核心公式如下：
$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$
其中：
- $ O_{ij} $ 表示第 i 行第 j 列的实际观察频数；
- $ E_{ij} $ 表示第 i 行第 j 列的期望频数；
- $ \chi^2 $ 是卡方统计量。
三、期望频数的计算公式
期望频数 $ E_{ij} $ 的计算公式为：
$$
E_{ij} = \frac{(\text{行i的总频数}) \times (\text{列j的总频数})}{\text{总样本数}}
$$
四、独立性检验步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 建立原假设 H₀：两个变量独立；备择假设 H₁：两个变量不独立 |
| 2 | 收集数据并构建列联表 |
| 3 | 计算每组的期望频数 |
| 4 | 使用卡方公式计算卡方统计量 |
| 5 | 确定显著性水平 α（如 0.05） |
| 6 | 查找卡方分布表，确定临界值 |
| 7 | 比较卡方统计量与临界值，决定是否拒绝原假设 |
五、卡方检验的适用条件
| 条件 | 说明 |
| 1 | 数据应为计数数据（非连续数据） |
| 2 | 每个单元格的期望频数通常应大于 5，否则需合并单元格或使用其他方法（如Fisher精确检验） |
| 3 | 样本应为随机抽样所得 |
| 4 | 各个观测之间相互独立 |
六、示例表格（列联表）
| 类别A | 类别B | 总计 | |
| 组1 | 20 | 30 | 50 |
| 组2 | 25 | 25 | 50 |
| 总计 | 45 | 55 | 100 |
根据此表，可以计算出每个单元格的期望频数，然后代入卡方公式进行检验。
七、结论
卡方独立性检验是一种常用的统计方法，适用于分析两个分类变量之间的独立性。通过计算实际频数与期望频数之间的差异，可以判断变量之间是否存在显著关联。正确应用该方法需要确保数据满足基本条件，并合理选择显著性水平。
关键词：独立性检验、卡方检验、期望频数、列联表、统计推断
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