数学期望常用公式总结
【数学期望常用公式总结】在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的“平均值”或“中心位置”。它广泛应用于统计分析、金融建模、机器学习等多个领域。本文对常见的数学期望公式进行系统性总结，并通过表格形式展示，便于查阅和理解。
一、数学期望的基本定义
设 $ X $ 是一个随机变量，其概率分布为：
- 若 $ X $ 是离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应概率为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
- 若 $ X $ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、常见分布的数学期望公式
以下是一些常见概率分布的数学期望表达式，便于实际应用时直接调用。
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ |
三、数学期望的性质
数学期望具有以下几个重要性质，有助于简化计算和推导：
1. 线性性：对于任意常数 $ a $、$ b $ 和随机变量 $ X $、$ Y $，有：
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
2. 常数的期望等于自身：
$$
E(c) = c
$$
3. 独立变量的乘积期望等于期望的乘积（若 $ X $、$ Y $ 独立）：
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
4. 期望的线性组合：
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
5. 条件期望的全期望公式：
$$
E(X) = E(E(X
$$
四、应用实例
示例 1：抛硬币实验
设 $ X $ 表示抛一枚均匀硬币出现正面的次数，服从伯努利分布 $ B(1, 0.5) $，则：
$$
E(X) = 0.5
$$
示例 2：掷骰子
设 $ X $ 表示掷一枚六面骰子的结果，服从均匀分布 $ U(1,6) $，则：
$$
E(X) = \frac{1+6}{2} = 3.5
$$
示例 3：泊松过程
假设某事件发生的次数服从泊松分布 $ Poisson(\lambda) $，则：
$$
E(X) = \lambda
$$
五、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，它不仅能够帮助我们理解随机变量的平均表现，还在实际问题中有着广泛应用。掌握不同分布的期望公式及其性质，可以大大提高我们在数据分析和建模中的效率和准确性。
如需进一步了解协方差、方差、矩生成函数等内容，可参考相关教材或拓展资料。
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