泰勒公式常用展开式
发布时间：2026-02-07 19:41:05来源：
【泰勒公式常用展开式】泰勒公式是数学分析中非常重要的工具，广泛应用于近似计算、函数分析和数值方法中。它通过将一个函数在某一点附近用多项式形式进行逼近，从而简化复杂的函数运算。以下是常见的泰勒展开式及其应用范围的总结。
一、泰勒公式的简要说明
泰勒公式的基本形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中，$R_n(x)$ 是余项，表示展开后的误差。当 $a=0$ 时，泰勒公式也称为麦克劳林公式。
二、常用函数的泰勒展开式（以 $x=0$ 为例）
| 函数 | 泰勒展开式 | 展开点 | 收敛区间 | ||
| $e^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | $x=0$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| $\sin x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x=0$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| $\cos x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $x=0$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| $\ln(1+x)$ | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$ | $x=0$ | $(-1, 1]$ | ||
| $\arctan x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $x=0$ | $[-1, 1]$ | ||
| $(1+x)^k$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$ | $x=0$ | $ | x | < 1$（当 $k$ 为非整数时） |
| $\frac{1}{1-x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ | $x=0$ | $ | x | < 1$ |
| $\sinh x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x=0$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| $\cosh x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $x=0$ | $(-\infty, +\infty)$ |
三、使用注意事项
1. 收敛性：不同函数的泰勒级数收敛范围不同，使用前应确认其有效区间。
2. 余项估算：实际应用中常需要估算余项大小，以判断近似精度。
3. 高阶项省略：在工程或物理问题中，通常只保留前几项进行近似计算，以提高效率。
4. 特殊函数处理：如 $\ln(1+x)$、$\arctan x$ 等，需注意其展开形式与定义域的关系。
四、总结
泰勒展开式是连接微积分与实际应用的重要桥梁，掌握常见函数的展开形式有助于快速解决各类数学问题。在学习和应用过程中，应注意其适用条件与收敛范围，避免因误用而导致错误结果。
免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。
